Kümeler,Denklemler ve eşitsizlikler

KÜMELER

Küme: Kavramlardan veya nesnelerden oluşan iyi tanımlanmış grup veya topluluğa küme denir.

Kritik Nokta: Küme belirtme şartından bahsedecek olursak öncelikle grup ya da toplulukta kesin hükümler yer almalı, belirsizlik bulunmamalı bir diğer şart ise grup ya da topluluk tanımlanmalı yani grubun adı konulmuş olmalıdır.

Örnek: 5 ‘ ten küçük pozitif tam sayılar ifadesi küme belirtir. Çünkü ifade kesin ve iyi tanımlanmıştır.

·         Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir. D, E, F kümesi gibi…

·         Kümeyi oluşturan ögelere eleman denir. 1 elemanı D kümesine ait ise 1 є D şeklinde yazılır.

Kritik Nokta: Kümede aynı eleman sadece bir kez yazılır, elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez. D kümesinin eleman sayısı s(D) veya n(D) şeklinde gösterilir.

1 ) Kümelerin Gösterimi

A ) Liste Yöntemi:  Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

Örnek: D = {1,2,3,0}  ise s(D) = 4 dür.

B ) Venn Şeması: Küme aşağıda gösterildiği gibi kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile belirtilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

C ) Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir  ifade olarak ortaya koyma biçimidir. A = {x : (x in özeliği)}

·         Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

·         Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

Örnek:   B : {x│ x < 6   x є N}  (x ,6 ‘ dan küçük doğal sayılar)

Küme Çeşitleri

 1 ) Boş Küme: Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da Ø sembolleri ile gösterilir.

Kritik Nokta: {Ø} ve {0} kümeleri boş küme değil, elaman sayıları bir olan iki farklı kümedir.

2 ) Eşit Küme: Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

Örnek: A = {a,b} B = {a,b} ise  A = B dir. A kümesi B kümesine eşit ise A = B ile gösterilir.

Kümeler Konu Anlatımı

Konunun bu kısmını siz doldurunuz

·         Etkisiz Eleman Özelliği : A  Ø = A

·         Tek Kuvvet Özelliği : A  A = A

·         Değişme Özelliği:   A  B = B  A

·         Birleşme Özelliği:  (A  B)  M = A  (B  M)  

Dağılma Özellikleri: 

1 )  Kesişim İşleminin Birleşim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun. 

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C) dir.

Bu özelliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.

(A ∪ B ) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.

Kritik Nokta: Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır denir.

2 )  Birleşim İşleminin Kesişim İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği:

A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.

(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.

Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.

3 ) Fark Kavramı:   A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A / B biçiminde gösterilir.

Kritik Nokta: A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, A/B kümesinin elemanı var fakat B/A kümesinin hiç elemanı yoksa B kümesi A kümesinin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

s(A/B) ≠ 0 , s(B/A) = 0    A  B  dir.

Farkın Özellikleri:

·         A / A = Ø ,  A / Ø = A ,  Ø / A = Ø

·         A / B ≠ B / A

·         (A / B )  B = A  B

·         A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)

·         A / (B  C) = (A / B )  (A/ C)

4 ) Tümleyen Kavramı: Bir kümenin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye bu kümeni tümleyeni denir.

A kümesinin tümleyeni A‘ veya Ā ile gösterilir.

Kritik Nokta: Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni yine kendisine eşittir.         (A‘)‘ = A

Kritik Nokta: B kümesi A kümesinin alt kümesi ise B kümesinin tümleyeni de A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir. (Bu önermenin tersi de doğrudur)

B  A     B’  A‘ dir.

Tümleyenin Özellikleri:

·         E‘ = Ø ,  Ø’ = E

·         s(A) + s(A‘) = E

·         A  A‘ = E ,    A  A‘ = Ø

·         E   A‘ = E  ,  E  A‘ = A‘

De Morgan Kuralı
A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.
Buna göre,

(A B )‘ = A‘  B‘ ,  (A  B )‘ = A‘  B‘

Denklemler ve Eşitsizlikler

Sayı Kümeleri

Rakam : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Doğal Sayılar : N = {0,1,2,…}
Sayma Sayıları : N+ = {1,2,3,…}
Tam Sayılar : Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Pozitif  Tam Sayılar : Z+ = {1,2,3,…}
Negatif Tam Sayılar : Z – = {…,-3,-2,-1}
Rasyonel Sayılar : Q = {a/b; a,b є Z ve b≠0}
İrrasyonel Sayılar : Q’ = {p ,e,5,14236…,…}
Reel Sayılar : R = Q ᴜ Q’

KRTK NKT : Her rakam bir sayıdır fakat her sayı bir rakam değildir.
Ör : 12 bir sayıdır fakat rakam değildir.

Gerçek (Reel) Sayılar

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşmesi sonucu meydana gelen büyük çaplı kümeye gerçek sayılar denir. Gerçek sayılar R ile gösterilir.
Pozitif ve negatif reel sayılar kümesi olarak ayırabiliriz.
R = R+ ᴜ {0} ᴜ R –

KRTK NKT : Reel sayılar kümesi diğer bütün kümeleri kapsar.
N+  N  Z  Q  R

KRTK NKT : Gerçek sayılar kümesi sayı doğrusunu tam olarak doldurur.

Reel Sayılarda toplama işleminin özellikleri

a) Kapalılık özelliği: İki reel sayının toplamı, yine bir reel sayıdır. Yani reel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

p, r, s є R olmak üzere; r+s = s є R

b) Değişme özelliği: Reel sayılar kümesinde, toplama işleminin değişme özelliği vardır.

p, r, s є R olmak üzere; p+r = p+r є R

c) Birleşme özelliği: Reel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

p, r, s є R olmak üzere; (p+r)+s = p+(r+s) є R

d) Etkisiz (birim) eleman özelliği: ”0”tam sayısına, reel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
p+0 = p є R

e)Ters eleman özelliği: Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki reel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

p + (-p) = 0 є R olduğundan p’nin tersi (-p) dir.

Reel Sayılarda çarpma işleminin özellikleri

r, s, t є R olmak üzere;

1. Çarpmanın kapalılık özeliği vardır.

r.s = t є R

2. Çarpmanın değişme özeliği vardır.

r.s = s.t

3. Çarpmanın birleşme özeliği vardır.

r.(s.t) = (r.s).t

4. Çarpmanın sadeleştirme özeliği vardır. Sıfırdan farklı r sayısı için;

r.s = r. t

ise s = r’dir.

5. Çarpmada birim eleman 1’dir.

r.1 = r

6. Çarpmada ters eleman özeliği vardır. r є R için ters eleman r-1 є R dir.

7. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.

r.(s + t) = r.s + r.t

8. Çarpma işleminin yutan elemanı sıfırdır.

r.0 = 0

KRTK NKT : R reel sayılar kümesinin geometrik temsili sayı doğrusu, RxR ‘nin ise geometrik temsili kartezyen koordinat sistemidir. Yani analitik düzlemdir.

İSPATI :

 a ve b ‘yi aralarında asal iki sayı kabul edelim.

Her iki tarafın da karesini alırsak,

2 = a² / b²  yani ,  2b² = a²   olur.

Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.

O halde  a yerine 2k yazacak olursak,

4k²  = 2b²   yani  b² = 2k² olur.

Bu durumda b²  dolayısıyla b’de çift olur.

Ama başlangıçta a ve b’yi aralarında asal almıştık, öyleyse kök √2 rasyonel bir sayı değildir. Yani iki sayının bölümü şeklinde ifade edilmemektedir.

√2 = 1,414…

KRTK NKT : Yaklaşık değeri 1,414… olduğundan sayı doğrusunda 1 ile 1,5 arasında bir noktada gösterilecektir.

1 ) İrrasyonel Sayılar
İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar irrasyonel sayılar olarak adlandırılır. Yani rasyonel olmayan sayıların oluşturduğu küme irrasyonel sayılar kümesidir.İrrasyonel sayılar Q’ sembolü ile gösterilir.
Aşağıdaki sayılar irrasyonel sayıdır.
Ör : pi sayısı = 3.14…
5,1402356…
e = 2.71…
√7

KRTK NKT : Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

Q  Q’ =  

2 ) Rasyonel Sayılar
A bir tam sayı B sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere A/B şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Payda sıfır olursa tanımsız olur. Rasyonel sayılar Q sembolü ile gösterilir.

Q = {a/b; a,b є Z ve b≠0}

Aşağıdaki sayılar rasyonel sayıdır.
Ör :1/3
5
0,5
1,3333…
0,4545…
√16

KRTK NKT : Bütün tam sayıları 1 ile böldüğümüzde sonuç kendisini yani yine bir tam sayıyı verir. Bu yüzden bütün tam sayılar aynı zaman da rasyonel sayıdır.

Z  Q

KRTK NKT : Devirli ondalıklı kesirler aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.

a)Doğal Sayılar:
Negatif olmayan ve sıfırdan başlayan pozitif tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesini oluşturur. N harfi ile gösterilir.
N = {0, 2, 3, 4, …}
Pozitif tam sayılar kümesi sayma sayılarının kümesini oluşturur. N+ ile gösterilir.
N+ = {1, 2, 3, 4, …}

KRTK NKT: Sıfır sayısı nötr bir doğal sayıdır.KRTK NKT: Farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.

KRTK NKT: İki doğal sayının çarpımı verilmiş olsun. Bu iki sayının toplamlarının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak seçilmelidir.

Örnek: a ve b iki doğal sayı olsun
a . b = 25
olduğuna göre a + b toplamı en çok kaçtır?
A)5  B)6  C)10  D)25  E)26

 b) Tam Sayılar

Tam sayılar kümesi Z harfi ile gösterilir.

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Şeklinde belirtilen kümedir.
Tam sayılar kümesi pozitif tam sayılar, negatif sayılar ve {0} olmak üzere 3 kısma ayrılır.
Pozitif Tam Sayılar = Z⁺ = {1, 2, 3, …}
Negatif Tam Sayılar = Z^– = {…, -3, -2, -1}
Tam sayılar = Z^–  {0}  Z⁺ şeklinde belirtilen kümedir.

KRTK NKT: 
1. En küçük pozitif tam sayı 1 dir.
2. En büyük negatif tam sayı -1 dir.
3. Sıfır, nötr bir tam sayıdır.

2) Açık Aralık

(a, b) veya a< x< b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.

3. Yarı Açık Aralık

(a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
(a, b] veya a < x £ b ifadesine soldan açık aralık denir.

EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ

1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.
a < b
a + c < b + c
a – d < b – d dir.

2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
a < b
c > 0 ise, a . c < b . c
d < 0 ise, a . d > b . d

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

İçerisinde eşitlik ve bir bilinmeyen bulunan ifadelere bir bilinmeyenli denklemler denir. (2x+6=0) Buradaki bilinmeyen yerine değişken de kullanılabilir.

a ve b bir sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere,

ax + b = 0 birinci dereceden denklemdir.
Denklemi doğru yapan değişkenin veya bilinmeyenin değerine denklemin çözümü, bu doğru değeri bulma işlemine denklemi çözme denir. Diğer bir deyişle denklemi sağlayan bilinmeyene denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

KRTK NKT: Birinci dereceden denklemi çözmek için x’i yalnız bırakıp eşitliğin diğer tarafındaki sayıya bölmek gerekir.

KRTK NKT: Eşitliğin her iki tarafında da x değeri varsa eğer; x’li olan değerler bir tarafa, tam sayılar ise bir tarafa toplanarak işlem yapılır.

Örnek: 5x – 6 = 2x + 6 denkleminde x kaçtır?

5x – 2x = 6 + 6 ( x’li ifadeleri bir tarafa tam sayılı ifadeleri bir tarafa topladık)
3x = 12
x = 4 olarak bulunur.

Örnekleri Çoğaltabilirsiniz.

KRTK NKT: Denklemimizde kesirli ifade varsa eğer, önce kesirden kurtarmamız gerekir. Kurtardıktan sonra denklemi çözebiliriz.
Örnek:

( x – 1 ) = 2.4 ( Kesirden kurtarmak için eşitliğin her iki tarafını da payda ile çarptık. )
( x – 1 ) = 8 ( Denklemi çözebiliriz. )
x = 9

MUTLAK DEĞER

Mutlak değeri, gerçek sayı doğrusu üzerinde, herhangi bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı şeklinde tanımlayabiliriz. Doğru üzerinde, herhangi bir noktanın koordinatı x olsun. x in başlangıç noktasına olan uzaklığı, | x | sembolü ile gösterilir. x in mutlak
değeri olarak okunur.

Örnekler:
|2|=2
|-4|=-(-4)=4
|0|=0
|-1/2|=-(-1/2)=1/2

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ

Örnek: |2x-6| ifadesini en küçük yapan x değeri kaçtır ?
Mutlak değerli bir ifade dışarıya ya pozitif olarak çıkacak ya da sıfır olarak yani negatif çıkma şansı yok bizim arayacağımız değer pozitiflerden küçük negatiflerden büyük bir değer olmalı yani bu değer sıfır olur. |2x-6|= 0 olması için 2x-6 = 0 olmalıdır. 2x-6 = 0 ise x = 3 olur.KRTK NKT: Mutlak değer sonucunda bir sayının negatif değer alması mümkün değil o halde mutlak değerli iki toplamın sıfır olabilmesi için iki toplamın da ayrı ayrı sıfıra eşit olması gerekir.
Örnek: |x+y-2|+|x-y+2|=0 eşitliği sağlayan (x,y) ikilisi nedir ?
|x+y-2|=0 ve |x-y+2|=0 x+y=2 ve x-y=-2 ise bu iki denklemi çözdüğümüzde x=0 ve y=2 bulunur.

Örnek: 2|x-4|+10=16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

x-4=-3 ya da x-4=3 olabilir buradan x=1 veya x=7 olur.
Ç.K={1,7} olur.

Örnek: |2x-6|<4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir ?
|a|<|b| ise -|b|<a<|b| özelliğinden
-4<2x-6<4 şeklinde yazılır.
2<2x<10 ise 1<x<5 olur Ç.K={(1,5)} olarak ifade edilir.

İki Bilinmeyenli Denklemler

İçerisinde eşitlik ve iki bilinmeyen bulunan ifadelere iki bilinmeyenli denklemler denir. (x+3y=9) İki bilinmeyenli denklemin çözüm kümesi (x,y) ikililerinden oluşur.

KRTK NKT: Bu denklem dik koordinat sisteminde doğru belirtir ve bu doğru üzerinde sonsuz sayıda nokta vardır. Bundan dolayı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Denklem Sistemlerinin Çözüm Metodları

a)Yerine Koyma Metodu

Verilen iki denklemin, herhangi birinden bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsinden bulunur ve diğer denklemde yerine yazılır. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülür. Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.

Örnek:
x + 2y = 14 1.denklem
x – y = -10 2. Denklem
ikinci denklemde x’ i yalnız bırakalım x = -10 + y bulunur.
x’ in bu değerini birinci denklemde yerine koyalım.
(-10 + y) + 2 y = 14
3y = 14+ 10
3y = 24
y = 24 / 3y = 8 bulunur. y’ nin bu değeri denklemlerin birinde yerine konur.
x – y = -10
x – 8 = -10
x = -10 + 8x = – 2 bulunur.

b)Yok Etme Metodu

Verilen her iki denklemin, bilinmeyenlerinden birinin katsayıları simetrik (mutlak değerce eşit ve zıt işaretli) olmalıdır. Bu koşul yoksa bilinmeyenlerden herhangi birinin, her iki denklemde de katsayıları simetrik duruma getirilir. Sonra her iki denklem taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Elde edilen bir bilinmeyenli denklem çözülerek, bilinmeyenlerden biri bulunur. Bulunan bu değer, denklemlerden herhangi birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.

Örnek :
x + y = 30
x – y = 10 denklem çiftinde x ve y değerlerini bulmak için katsayıları eşit olduğundan ve y’ nin işaretleri ters olduğundan taraf tarafa toplarız.

x + y = 30
x – y = 10

+---------------

2x=40,x=20 bulunur Bu sayı denklemlerden herhangi birinde yerine koyulur

x+y=30

20+y=30

y=30-20

y=10 bulunur